La fractal de Benoît Mandelbrot
- fractal.tar.gz (sources et classe Java + readme)
Petite introduction à la théorie du chaos
Quelle est la longueur de la côte Anglaise ? Une première approche pourrait consister à se dire: je trouverais bien un bouquin, ou un site, où ce sera indiqué. Pourtant, en y regardant de plus près, la réponse n'est pas si évidente. Je pourrais par exemple trouver une photo satellite et dérouler ensuite sur l'image un bout de ficelle en le calquant sur le littoral. Et avec un petit calcul faisant intervenir l'échelle, j'aurais une longueur. Mais si maintenant je parcours la côte avec ma pelotte, j'aurais à prendre en compte de nouveaux détails, qui n'apparaissaient pas sur la photo. Une petite baie, le delta d'une rivière... Vue de près, la côte m'apparaîtra beaucoup plus complexe. Et à certains endroits où sur la photo j'avais coupé en ligne droite, j'aurais alors à faire quelques nouveaux détours pour me calquer sur le littoral. Ce qui fait que j'obtiendrais finalement une plus grande longueur de côte. Quelle est donc la longueur de la côte Anglaise ? Tout dépend de l'échelle à laquelle vous l'observez.
Un littoral, un réseau sanguin, une paire de poumons... Les structures complexes foisonnent. On serait tenté d'imaginer qu'une telle complexité ne pourrait émerger que suite à un processus lui-même assez complexe. Un mécanisme simple peut cependant engendrer une grande complexité. C'est la cas par exemple de la figure ci-dessus.
Cette figure représente le comportement d'une suite mathématique, étudiée par Benoît Mandelbrot dans les années 70 :
Zn = (Zn-1)² + C
Prennez un nombre, multipliez-le par lui-même, ajoutez au résultat le nombre de départ et recommencez. Multipliez le résultat par lui-même et additionnez le nombre de départ, etc. La suite se définie simplement avec une multiplication et une addition.
Cette suite peut maintenant évoluer grosso-modo de deux manières différentes, qui dépendent du nombre choisi au départ. Soit les résultats successifs seront de plus en plus grands, soit ils vont "stagner", et finir par osciller dans un interval borné. Là où ça devient intéressant, c'est quand on commence à chercher le nombre limite, choisi au départ de la suite, qui va décider si elle sera bornée ou pas. L'expérience a peu d'intérêt sur les nombres réels, mais prend une tournure surprennante sur les nombres complexes.
Les zones noires, sur la figure ci-dessus, représentent l'ensemble des nombres (donc complexes) pour lesquels la suite est bornée. Les zones colorées représentent les nombres de départ pour lesquels la suite va diverger. Certaines zones sont franchement noires, d'autres franchement colorées, mais entre les deux...
La figure en haut de cette page est zoomable à la souris. C'est un petit programme en Java (nécessite le plugin Java) qui itère la suite et affiche la figure.